Borel Sigma-Algebra

释义 Definition

Borel σ-代数：在一个拓扑空间（最常见是实数集 (\mathbb{R})）上，由所有开集通过可数次并、交与补等运算生成的最小的 σ-代数。它的元素称为 Borel 集，是测度论与概率论中定义“可测集合”的核心框架之一。（在 (\mathbb{R}) 上，它包含所有开集、闭集、可数并交得到的集合等。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈbɔːrəl ˌsɪɡmə ˈældʒɪbrə/

例句 Examples

The Borel sigma-algebra on (\mathbb{R}) is generated by open intervals.
(\mathbb{R}) 上的 Borel σ-代数由开区间生成。

To define a probability measure on a metric space, we often start by assigning probabilities to sets in the Borel sigma-algebra and then extend by standard theorems.
为了在一个度量空间上定义概率测度，我们常先在 Borel σ-代数中的集合上赋值概率，再借助标准定理进行扩展。

词源 Etymology

Borel 来自法国数学家 Émile Borel（埃米尔·博雷尔） 的姓氏；他对测度论与集合的可测性研究影响深远。sigma-algebra（σ-代数） 中的 “σ” 指“可数（countable）”闭合性：对可数次并（以及由此推出的可数次交）仍保持封闭，因此用希腊字母 σ 来标记这一结构。

相关词 Related Words

• Sigma-Algebra
• Borel Set
• Measurable Space
• Measure
• Probability Measure
• Topology
• Open Set

文献与作品 Literary Works

• Paul R. Halmos, Measure Theory（系统讨论 Borel 集与 Borel σ-代数的基本性质）
• H. L. Royden & P. M. Fitzpatrick, Real Analysis（以 Borel σ-代数为可测性的重要例子）
• Walter Rudin, Real and Complex Analysis（在测度与可测函数框架中多次使用）
• David Williams, Probability with Martingales（概率论中以 Borel σ-代数作为状态空间的标准 σ-代数）
• Olav Kallenberg, Foundations of Modern Probability（现代概率的标准设定：Borel 空间与其 σ-代数）